ദ്വിപദപ്രമേയം

ഫലകം:Prettyurl ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, തുകകളുടെ കൃതിയുടെ വികസിത രൂപം തരുന്ന ഒരു പ്രധാനപ്പെട്ട സമവാക്യമാണ് ദ്വിപദപ്രമേയം. ഇതിന്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപം താഴെപറയുന്നതാണ്.

$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{y}^k(1)$

x, y എന്നിവ രേഖീയ സംഖ്യയോ മിശ്ര സംഖ്യയോ n ഋണേതര പൂർണ സംഖ്യയുമായിരിക്കണം. ഈ സമവാക്യത്തിലെ ദ്വിവർഗ്ഗ ഗുണാങ്കം ഫാക്ടോറിയൽ n!-നെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഇങ്ങനെ നിർവചിക്കാം.

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$

പാസ്കൽ ത്രികോണം ഉപയോഗിച്ചും ഈ ഗുണാങ്കം കണ്ടെത്താവുന്നതാണ്‌.

2 ≤ n ≤ 5 ആയ ഉദാഹരണങ്ങൾ താഴെക്കൊടുക്കുന്നു:

$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$

$(x+y{)}^3=x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3$

$(x+y{)}^4=x^4+4x^{3}y+6x^2{y}^2+4x{y}^3+y^4$

$(x+y{)}^5=x^5+5x^{4}y+10x^3{y}^2+10x^2{y}^3+5x{y}^4+y^5.$