ഗ്രോസ്-പിതാവ്സ്കി സമവാക്യം

ഫലകം:Prettyurl അഭിന്നമായ ബോസോണുകളുടെ ക്വാണ്ടം വ്യവസ്ഥയിലെ ഏറ്റവും താഴ്ന്ന ഊർജ്ജമുള്ള സ്ഥിതിയുടെ (ground state) വേവ് ഫങ്ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരം നൽകുന്ന സമവാക്യമാണ്‌ ഗ്രോസ്-പിതാവ്സ്കി സമവാക്യം. ആകെ വേവ് ഫങ്ഷനെ കണികകളുടെ വേവ് ഫങ്ഷനുകളുടെ ഉൽപന്നമായി കണക്കാക്കുന്ന ഹാർട്രീ-ഫോക്ക് അപ്രോക്സിമേഷൻ, ബോസോണുകൾ തമ്മിലുള്ള പ്രതിപ്രവർത്തനത്തിന്‌ മാതൃകയായി സ്യൂഡോപോട്ടൻഷ്യൽ പ്രതിപ്രവർത്തനമാതൃക എന്നിവ ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ബോസ്-ഐൻസ്റ്റൈൻ കണ്ടൻസേറ്റുകളുടെ വേവ് ഫങ്ഷൻ വിശദീകരിക്കാൻ ഈ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്. ഗിൻസ്ബർഗ്-ലാൻഡൗ സമവാക്യത്തിന്‌ സമാനമായ ഇതിനെ അരേഖീയ ഷ്രോഡിങർ സമവാക്യം എന്നും വിളിക്കാറുണ്ട്.

കണികകൾ തമ്മിലുള്ള പ്രതിപ്രവർത്തനം മൂലമാണ്‌ ഈ സമവാക്യം അരേഖീയമാകുന്നത്. പ്രതിപ്രവർത്തനമില്ലെങ്കിൽ ഗ്രോസ്-പിതാവ്സ്കി സമവാക്യം ഒരു കണികയുടെ ഷ്രോഡിങർ സമവാക്യത്തിന്‌ സമമാകുന്നതാണ്‌. അരേഖീയമായ Partial differential equation ആണ്‌ ഇത് എന്നതിനാൽ ഇതിന്‌ കൃത്യമായ നിർദ്ധാരണം കണ്ടെത്താൻ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്‌. തോമസ്-ഫെർമി അപ്രോക്സിമേഷൻ, ബൊഗോല്യുബോവ് അപ്രോക്സിമേഷൻ മുതലായവയുപയോഗിച്ചും കം‌പ്യൂട്ടറുകളിൽ സാംഖ്യികമായ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ചുമാണ്‌ സാധരണ നിർദ്ധാരണങ്ങൾ കണ്ടെത്താറ്.

സമവാക്യം

കണികകളുടെ എണ്ണത്തിൽ മാറ്റം വരാത്ത ക്വാണ്ടം വ്യവസ്ഥയിലെ സമയനിരപേക്ഷ ഗ്രോസ്-പിതാവ്സ്കി സമവാക്യം (time-independent Gross–Pitaevskii equation) ഇതാണ്‌:

$\mu \mathrm{\Psi }(𝐫)=(-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V(𝐫)+g|\mathrm{\Psi }(𝐫){|}^2)\mathrm{\Psi }(𝐫)$

ഇവിടെ

• $\mu$ = കെമിക്കൽ പൊട്ടൻഷ്യൽ
• $\mathrm{\Psi }$ = വേവ് ഫങ്ഷൻ
• $\hslash$ = റെഡ്യൂസ്ഡ് പ്ലാങ്ക് സ്ഥിരാങ്കം
• $m$ = കണികയുടെ പിണ്ഡം
• $g=\frac{4\pi {\hslash }^2{a}_s}{m}$. ഇവിടെ $a_s$ വിസരണദൈർഘ്യമാണ്‌ (scattering length)

സമയാധിഷ്ഠിത ഗ്രോസ്-പിതാവ്സ്കി സമവാക്യം (time-dependent Gross–Pitaevskii equation) ഇതാണ്‌:

$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }(𝐫)}{\partial t}=(-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V(𝐫)+g|\mathrm{\Psi }(𝐫){|}^2)\mathrm{\Psi }(𝐫)$.