തൊടുവര

IRU VAR

പ്രത്യേകതകൾ

• ഒരു വൃത്തത്തെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ തൊടുന്ന വരയെ വൃത്തത്തിൻ്റെ തൊടുവര എന്നുപറയുന്നു.
• ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽക്കൂടിയുള്ള രേഖ, ആ ബിന്ദുവിൽക്കൂടി യുള്ള ആരത്തിനു ലംബമാണെങ്കിൽ ആ രേഖ വൃത്തത്തിൻ്റെ തൊടുവരയായിരിക്കും.
• ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലെ തൊടുവര ആ ബിന്ദുവിൽക്കൂടിയുള്ള ആരത്തിനു ലംബമാണ്.ഒരു ബാഹ്യബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഒരു വൃത്തത്തിലേയ്ക്ക് രണ്ടു തൊടുവരകൾ വരയ്ക്കാം.
• വരയ്ക്കുന്ന തൊടുവരകൾ രണ്ടും തുല്യമാണ്.
• ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽകൂടി ഒരു തൊടുവര മാത്രമേ വരയ്ക്കാൻ കഴിയൂ.

ദ്വിമാന തലത്തിൽ $y=f(x)$ എന്ന വക്രത്തിലെ $P(x,y)$ എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പർശകം $x$ അക്ഷത്തിൻ്റെ ധനാത്മകദിശയുമായി ചരിഞ്ഞിരിക്കുന്ന കോണത്തിൻ്റെ അളവ് $\theta$ ആയാൽ $\tan (\theta )=f^{\prime }(x)$. $\tan (\theta )$ യെ സ്പർശകത്തിൻ്റെ ചരിവ് (slope) എന്നു പറയുന്നു. ചരിവിനെ കുറിക്കാൻ $m$ എന്ന പ്രതീകമുപയോഗിച്ചാൽ $m=f^{\prime }(x)$ എന്നു കിട്ടുന്നു. വക്രത്തിലെ $(x_1,y_1)$ എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള സ്പർശകത്തിൻ്റെ സമീകരണമാണ് $y-y_1=f^{\prime }(x_1)(x-x_1)$.

ഉദാഹരണമായി $x_2+y_2=a^2$ എന്ന വൃത്തത്തിലെ $(x_1,y_1)$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ വരയ്ക്കുന്ന സ്പർശകത്തിൻ്റെ സമീകരണമാണ് $x\cdot x_1+y\cdot y_1=a^2$. പരവലയത്തിൻ്റെ മാനക സമീകരണം $y_2=4ax$. ഇതിലെ $(x_1,y_1)$ എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള സ്പർശകത്തിൻ്റെ സമീകരണം $y\cdot y_1=2a(x+x_1)$ ആണ്.

ഒരു വക്രത്തിലെ $P(x,y)$ എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പർശകം $x$ അക്ഷത്തെ $T$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ പ്രതിച്ഛേദിച്ചാൽ $P$ യും $T$ യും തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തെ സ്പർശക ദൂരം (length of the tangent) എന്നു പറയുന്നു.

സ്പർശതലം (tangent plane). ഒരു പ്രതല(surface)ത്തിലുള്ള $P$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഒരു രേഖ സ്പർശകമാകണമെങ്കിൽ ആ ബിന്ദുവിൽക്കൂടി കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വക്രത്തിന് (പ്രതലത്തിലുള്ളത്) ഈ രേഖ സ്പർശകമായിരിക്കണം. $P$ യിൽക്കൂടി കടന്നുപോകുന്ന എല്ലാ സ്പർശകങ്ങളും ഉള്ള സമതലത്തെ സ്പർശതലം എന്നു പറയുന്നു. $f(x,y,z)=0$ എന്ന പ്രതലത്തിലെ $(x_1,y_1,z_1)$ എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പർശതലത്തിൻ്റെ സമീകരണമാണ് $f_1(x_1,y_1,z_1)(x-x_1)+f_2(x_1,y_1,z_1)(y-y_{1}1)+f_3(x_1,y_1,z_1)(z-z_{1}1)=0$.

ഇതിൽ $f_1,f_2,f_3$ എന്നിവ $(x_1,y_1,z_1)$ ലെ $f$ ൻ്റെ $x,y,z$ കൊണ്ടുള്ള ആംശിക (partial) അവകലജങ്ങളാണ്. ഉദാഹരണത്തിന് $x_2+y_2+z_2=a^2$ എന്ന ഗോളത്തിൻ്റെ $(x_1,y_1,z_1)$ എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പർശതലമാണ് $x\cdot x_1+y\cdot y_1+z\cdot z_1=a^2$.

ടാൻജെന്റ് ഫലനം (tangent function). സമകോണിക കാർട്ടീഷ്യൻ തലത്തിൽ $P(x,y)$ ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവും $\mathrm{\angle }XOP=A$ യും ആയാൽ അ യുടെ ടാൻജെന്റ് ഫലനം $\tan (A)=\frac{y}{x}$ എന്ന് എഴുതുന്നു. A-യ്ക്ക് മാറ്റം വരുന്നതനുസരിച്ച് $\tan (A)$ യുടെ വിലയും മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന് $\tan (0^{\circ })=0;\tan (45^{\circ })=1;\tan (90^{\circ })=\mathrm{\infty }$. ഏതെങ്കിലുമൊരു ത്രികോണം $ABC$ യിൽ കോണങ്ങൾ $A,B,C$ യുടെ എതിർവശങ്ങൾ $a,b,c$ ആയാൽ

$\tan \left(\frac{B-C}{2}\right)=\frac{b-c}{b+c}\cot \left(\frac{A}{2}\right)$

ത്രികോണമിതിയിൽ ഇതിനെ ടാൻജെന്റ് നിയമം (tangent law) എന്നു പറയുന്നു. ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ത്രികോണനിർധാരണത്തിന് ഈ ഫോർമുലയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

$y=\tan (x)$ എന്ന ഫലനത്തിൻ്റെ ആലേഖ(graph)ത്തെ ടാൻജെന്റ് വക്രം (tangent curve) എന്നു പറയുന്നു. ഇതൊരു സന്തത (continuous) വക്രമല്ല. മൂലബിന്ദുവിൽക്കൂടി പോകുന്ന വക്രത്തിൻ്റെ ശാഖ $x=-\frac{\pi }{2},x=\frac{\pi }{2}$ ഈ രേഖകൾക്ക് അനന്തസ്പർശരേഖീയ (asymptotic)മാണ് ഫലകം:സർവ്വവിജ്ഞാനകോശം