റൂബിക്സ് ക്യൂബ് ഗ്രൂപ്പ്

റൂബിക്സ് ക്യൂബ്

ഒരു റൂബിക്സ് ക്യൂബിനുമേൽ സാധ്യമായ ക്രിയകളുടെ ഗ്രൂപ്പാണ് റൂബിക്സ് ക്യൂബ് ഗ്രൂപ്പ്. രണ്ട് ക്രിയകൾ ഒന്നിനുശേഷം ഒന്നായി ചെയ്യുക (concatenation) എന്നതാണ് ഈ ഗ്രൂപ്പിലെ സംക്രിയ. നിർദ്ധാരിതമായ ക്യൂബിൽ നിന്ന് തുടങ്ങി ഈ ക്രിയകൾ ഉപയോഗിച്ച് ക്യൂബിന്റെ സാധുവായ ഏത് ക്രമീകരണത്തിലും എത്തിച്ചേരാം എന്നതിനാൽ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾക്കും ക്യൂബിന്റെ ക്രമീകരണങ്ങൾക്കുമിടയിൽ ഒരു bijection ഉണ്ട്.

ക്യൂബ് ക്രിയകൾ

ഒരു സാധാരണ (3×3×3) റൂബിക്സ് ക്യൂബിന് ആറ് മുഖങ്ങളുണ്ട്. ഇവയെ മുന്മുഖം (F), പിന്മുഖം (B), മേൽമുഖം (U), താഴ്മുഖം (D), ഇടതുമുഖം (L), വലതുമുഖം (R) എന്നു വിളിക്കാം. ഓരോ മുഖത്തിലും ഒമ്പത് ചതുരങ്ങളുണ്ട്. ഓരോ മുഖത്തും എല്ലാ ചതുരങ്ങളും ഒരേ നിറമാകുമ്പോഴാണ് ക്യൂബ് നിർധാരിതമാകുന്നത്.

ക്യൂബിനെ നിർധരിക്കാൻ മുഖങ്ങളെ ഘടികാരദിശയിലോ എതിർഘടികാരദിശയിലോ 90 അഥവാ 180 ഡിഗ്രി തിരിച്ചാൽ മതിയാകും, ക്യൂബിനെ മുഴുവനായി തിരിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. അതായത്, ഓരോ ക്യൂബ് ക്രിയയ്ക്കുശേഷവും മുഖങ്ങളുടെ കേന്ദ്രത്തിലെ ചതുരത്തിന്റെ നിറം മാറ്റമില്ലാതെ നിൽക്കും.

ക്യൂബിന്മേലുള്ള ക്രിയകളെ സിങ്മാസ്റ്റർ സമ്പ്രദായമുപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കാം. അടിസ്ഥാനക്രിയകൾ ഇവയാണ്:

90°	180°	-90°
$F$ മുന്മുഖം ഘടികാരദിശയിൽ ഒരു തവണ തിരിക്കുക	$F^2$ മുന്മുഖം ഘടികാരദിശയിൽ രണ്ടു തവണ തിരിക്കുക	$F^{\prime }$ മുന്മുഖം എതിർഘടികാരദിശയിൽ ഒരു തവണ തിരിക്കുക
$B$ പിന്മുഖം ഘടികാരദിശയിൽ ഒരു തവണ തിരിക്കുക	$B^2$ പിന്മുഖം ഘടികാരദിശയിൽ രണ്ടു തവണ തിരിക്കുക	$B^{\prime }$ പിന്മുഖം എതിർഘടികാരദിശയിൽ ഒരു തവണ തിരിക്കുക
$U$ മേൽമുഖം ഘടികാരദിശയിൽ ഒരു തവണ തിരിക്കുക	$U^2$ മേൽമുഖം ഘടികാരദിശയിൽ രണ്ടു തവണ തിരിക്കുക	$U^{\prime }$ മേൽമുഖം എതിർഘടികാരദിശയിൽ ഒരു തവണ തിരിക്കുക
$D$ താഴ്മുഖം ഘടികാരദിശയിൽ ഒരു തവണ തിരിക്കുക	$D^2$ താഴ്മുഖം ഘടികാരദിശയിൽ രണ്ടു തവണ തിരിക്കുക	$D^{\prime }$ താഴ്മുഖം എതിർഘടികാരദിശയിൽ ഒരു തവണ തിരിക്കുക
$L$ ഇടതുമുഖം ഘടികാരദിശയിൽ ഒരു തവണ തിരിക്കുക	$L^2$ ഇടതുമുഖം ഘടികാരദിശയിൽ രണ്ടു തവണ തിരിക്കുക	$L^{\prime }$ ഇടതുമുഖം എതിർഘടികാരദിശയിൽ ഒരു തവണ തിരിക്കുക
$R$ വലതുമുഖം ഘടികാരദിശയിൽ ഒരു തവണ തിരിക്കുക	$R^2$ വലതുമുഖം ഘടികാരദിശയിൽ രണ്ടു തവണ തിരിക്കുക	$R^{\prime }$ വലതുമുഖം എതിർഘടികാരദിശയിൽ ഒരു തവണ തിരിക്കുക

$FF=F^2$, $FFF=F^{\prime }$ എന്നിങ്ങനെയുള്ളതിനാൽ 90 ഡിഗ്രി ഘടികാരദിശയിലുള്ള ക്രിയകളെ മാത്രം അടിസ്ഥാനക്രിയകളായി കണക്കാക്കാനും സാധിക്കും.

നിഷ്ക്രിയക്രിയയാണ് ഗ്രൂപ്പിന്റെ തൽസമകം (E). അടിസ്ഥാനക്രിയകളിലേതും നാലുതവണ ചെയ്താൽ തൽസമകം ലഭിക്കും. ഉദാഹരണമായി, $RRRR=E$

സവിശേഷതകൾ

ഒരു ക്രമചയഗ്രൂപ്പായ റൂബിക്സ് ക്യൂബ് ഗ്രൂപ്പ് 48 സംഖ്യകളുടെ ക്രമചയങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പായ $S_{48}$ ന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പാണ്. അടിസ്ഥാനക്രിയകളായ $\{FBUDLR\}$ റൂബിക്സ് ക്യൂബ് ഗ്രൂപ്പിന്റെ ജനകഗണമാണ്..

ഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടി $|G|=2^{27}\times 3^{14}\times 5^3\times 7^2\times 11=43,252,003,274,489,856,000$ ആണ്. ഇത്രയും അംഗങ്ങളുണ്ടെങ്കിലും ഏത് ക്രമീകരണത്തിൽ നിന്നും ക്യൂബിനെ നിർദ്ധരിക്കാൻ 20 ക്രിയകളിൽ കൂടുതൽ ആവശ്യമില്ല. റൂബിക്സ് ക്യൂബ് ഗ്രൂപ്പിലെ ഒരു അംഗത്തിന്റെ പരമാവധി കോടി 1260 ആണ്.

ക്യൂബിന്മേൽ ക്രിയകൾ ഏത് ക്രമത്തിലാണ് ചെയ്യുന്നത് എന്നത് പ്രധാനമാണ്. ഉദാഹരണമായി, $FR$ എന്ന ക്രിയയുടെയും $RF$ എന്ന ക്രിയയുടെയും പരിണാമം വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. അതിനാൽത്തന്നെ റൂബിക്സ് ക്യൂബ് ഗ്രൂപ്പ് ഒരു ക്രമഗ്രൂപ്പല്ല.

റൂബിക്സ് ക്യൂബ് ഗ്രൂപ്പ് $({\mathbb{Z}}_3^7\times {\mathbb{Z}}_2^{11})⋊((A_8\times A_{12})⋊{\mathbb{Z}}_2)$ എന്ന ഗ്രൂപ്പിന് സമരൂപമാണ്.

ഇതും കൂടി കാണുക

• റൂബിക്സ് ക്യൂബ്