മോഡ്യുലർ അങ്കഗണിതം

ക്ലോക്കുകളിൽ സമയം സാധാരണ ഗതിയിൽ മോഡ്യുലോ 12 ആയാണെടുക്കുന്നത്.

പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ സംക്രിയകൾ ചെയ്യുമ്പോൾ ലഭിക്കുന്ന ഫലം ഒരു നിശ്ചിത വിലയ്ക്കു മുകളിലെത്തിയാൽ അതിനെ പൂജ്യമായി കണക്കാക്കി അതിനു മുകളിലുള്ള വ്യത്യാസം മാത്രമെടുക്കുന്ന അങ്കഗണിത രീതിയാണ് മോഡ്യുലർ അങ്കഗണിതം (modular arithmetic). ഈ ഉയർന്ന നിശ്ചിത വിലയെ മാപാങ്കം (modulus) എന്നു വിളിക്കുന്നു. മോഡ്യുലർ അങ്കഗണിതത്തിന്റെ ആധുനികരൂപം വികസിപ്പിച്ചത് 1801-ൽ ഡിസ്ക്വിസിഷനെസ് അരിത്മെറ്റികേ എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിൽ കാൾ ഫ്രഡറിക് ഗോസ് ആയിരുന്നു.

സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അങ്കഗണിതത്തിൽ ആറുമണിയോട് എട്ടു മണിക്കൂർ കൂട്ടിയാൽ രണ്ടുമണിയാവുന്നത് സാധാരണ ഗതിയിൽ മാപാങ്കം 12 ആയുള്ള മോഡ്യുലർ അങ്കഗണിതം ചെയ്യുന്നതിനാലാണ് (മാപാങ്കം 24 വരുന്ന രീതിയിലും ചെയ്യാറുണ്ട്). സാധാരണ അങ്കഗണിതത്തിൽ ഫലകം:Nowrap ആണെങ്കിലും പതിനാലുമണി എന്ന് പറയാത്തത് ഓരോ പന്ത്രണ്ട് മണിക്കൂറീലും സമയത്തിന്റെ വില ചുറ്റി വരുന്നതിനാലാണ് (wrap around). 12 എന്നത് പൂജ്യത്തോടും സർവ്വസമമായതിനാൽ "12:00" എന്ന സമയത്തെ "0:00" എന്നും പറയാം.

സർവ്വസമതയുടെ നിർവചനം

സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം എന്ന സംക്രിയകൾ സാധാരണ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെപ്പോലെത്തന്നെ ചെയ്യാവുന്ന രീതിയിൽ ഒരു സർവ്വസമതാ ബന്ധത്തിന്റെ (congruence relation) നിർവചനമാണ് മോഡ്യുലർ അങ്കഗണിതത്തിന് അടിസ്ഥാനം. ഫലകം:Math ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിൽ ഫലകം:Math, ഫലകം:Math എന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഫലകം:Dfn ആണെന്നു പറയുന്നത് അവയുടെ വ്യത്യാസമായ ഫലകം:Math എന്നത് ഫലകം:Math ന്റെ പൂർണ്ണസംഖ്യാഗുണിതമാവുമ്പോഴാണ്. അതായത്, ഫലകം:Math എന്ന സമവാക്യമനുസരിക്കുന്ന ഫലകം:Math എന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യയുണ്ടാകണം. ഫലകം:Math യും ഫലകം:Math യും പൂർണ്ണസംഖ്യകളാകുമ്പോഴാണ് ഈ സർവ്വസമത സാധാരണ ഉപയോഗിക്കാറുള്ളത്, ഇതിനെ

$a\equiv b(\mathrm{mod}n)$

എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഫലകം:Math നെ സർവ്വസമതയുടെ ഫലകം:Dfn എന്നു വിളിക്കുന്നു.

യൂക്ലിഡിയൻ ഹരണവുമായുള്ള ബന്ധം വ്യക്തമാക്കാൻ

$a=kn+b$

എന്ന രൂപത്തിലും സർവ്വസമതയെ എഴുതാവുന്നതാണ്. എന്നാൽ ഫലകം:Math എന്നത് ഫലകം:Math യെ ഫലകം:Math കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന ശിഷ്ടം തന്നെയായിരിക്കണമെന്ന് നിർബന്ധമില്ല. കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഫലകം:Math എന്ന സർവ്വസമത പറയുന്നത് ഫലകം:Math യെയും ഫലകം:Math യെയും ഫലകം:Math കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടങ്ങൾ തുല്യമാണെന്നാണ്. അതായത്,

$a=pn+r,$

$b=qn+r,$

ഇവിടെ ഫലകം:Math തുല്യമായ ശിഷ്ടമാണ്. ഈ സമവാക്യങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം കണ്ടാൽ നേരത്തെപ്പോലെ:

$a-b=kn,$

എന്നു ലഭിക്കുന്നു (ഫലകം:Math).

ഉദാഹരണം

ഉദാഹരണമായി,

$38\equiv 14(\mathrm{mod}12).$

ഫലകം:Math എന്നത് 12 ന്റെ ഗുണിതമായതിനാലാണിത്. 38 നെയും 14 നെയും 12 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ശിഷ്ടം 2 വരുന്നതിനാലാണ് എന്നും പറയാം.

ന്യൂനസംഖ്യകൾക്കും ഇതേ നിയമം ബാധകമാണ്:

$\begin{array}{cc}-8& \equiv 7(\mathrm{mod}5)\\ 2& \equiv -3(\mathrm{mod}5)\\ -3& \equiv -8(\mathrm{mod}5).\end{array}$

ഒരേ പ്രശ്നത്തിൽ തന്നെ ഒന്നിലേറെ മാപാങ്കങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കേണ്ടി വരുന്നതിനാൽ ആശയക്കുഴപ്പമൊഴിവാക്കാനാണ് ചിഹ്നത്തിൽ തന്നെ മാപാങ്കം വ്യക്തമാക്കുന്നത്. എന്നിരുന്നാലും ഒരു നിശ്ചിത മാപാങ്കത്തിന് സർവ്വസമത ഒരു ദ്വയാങ്ക ബന്ധമാണ് (ത്രയാങ്ക ബന്ധമായി കണക്കാക്കില്ല)

സവിശേഷതകൾ

തുല്യതാബന്ധം

സർവ്വസമതാ ബന്ധം തുല്യതാബന്ധത്തിന്റെ (equivalence relation) എല്ലാ നിയമങ്ങളും പാലിക്കുന്നു:

• പ്രതിസമത: ഫലകം:Math
• സമമിതി: ഫലകം:Math ആകുന്നത് കൃത്യം ഫലകം:Math ആകുന്ന അവസരങ്ങളിലാണ്
• സംക്രമത: ഫലകം:Math, ഫലകം:Math എങ്കിൽ ഫലകം:Math

അങ്കഗണിതം

ഫലകം:Math, ഫലകം:Math ഫലകം:Math എന്ന സർവ്വസമതകൾ സാധുവാണെങ്കിൽ താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്നവയും സാധുവാകും:

• ഫലകം:Math ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിൽ ഫലകം:Math (നീക്കവുമായുള്ള പൊരുത്തം)
• ഫലകം:Math ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിൽ ഫലകം:Math(scaling ഉമായുള്ള പൊരുത്തം)
• ഫലകം:Math (സങ്കലനവുമായുള്ള പൊരുത്തം)
• ഫലകം:Math (വ്യവകലനവുമായുള്ള പൊരുത്തം)
• ഫലകം:Math (ഗുണനവുമായുള്ള പൊരുത്തം)
• ഫലകം:Math പൂജ്യത്തിൽ കുറയാത്ത ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിൽ ഫലകം:Math (ഘാതവുമായുള്ള പൊരുത്തം)
• ഫലകം:Math പൂർണ്ണസംഖ്യാഗുണോത്തരങ്ങളുള്ള ബഹുപദമാണെങ്കിൽ ഫലകം:Math (ബഹുപദങ്ങളുടെ മൂല്യനിർണ്ണയത്തിലെ പൊരുത്തം)

ഘാതം

ഫലകം:Math ആയതുകൊണ്ടു മാത്രം ഫലകം:Math ആകണമെന്നില്ല. എന്നാൽ:

• ഫലകം:Math ആണെങ്കിൽ (ഇവിടെ φ ഓയ്‌ലറുടെ ടോഷ്യന്റ് ഫലനമ്മാണ്) ഫലകം:Math, ഫലകം:Math എന്നിവ സഹ-അഭാജ്യമാകുമ്പോൾ ഫലകം:Math എന്നു വരുന്നു.

Cancellation

പൊതുവായ പദങ്ങളെ ഒഴിവാക്കാനുള്ള നിയമങ്ങൾ:

• ഫലകം:Math ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിൽ ഫലകം:Math ആകുമ്പോഴൊക്കെ ഫലകം:Math ആണ്
• ഫലകം:Math, ഫലകം:Math എന്നിവ സഹ-അഭാജ്യമായ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണെങ്കിൽ ഫലകം:Math ആകുമ്പോഴൊക്കെ ഫലകം:Math ആണ്

ഗുണനവിപരീതം

മോഡ്യുലർ ഗുണനവിപരീതത്തിന്റെ നിയമങ്ങൾ:

• അസ്തിത്വം: ഫലകം:Math, ഫലകം:Math എന്നിവ സഹ-അഭാജ്യമാവുന്ന അവസരങ്ങളിൽ ഫലകം:Math എന്ന സർവ്വസമതയനുസരിക്കുന്ന ഫലകം:Math എന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യയുണ്ടാകും. ഫലകം:Math നെയാണ് ഫലകം:Mvar യുടെ മോഡ്യുലോ ഫലകം:Math ആയുള്ള മോഡ്യുലർ ഗുണനവിപരീതം (modular multiplicative inverse) എന്നു വിളിക്കുന്നത്.
• ഫലകം:Math ആവുകയും ഫലകം:Math ഉണ്ടായിരിക്കുകയും ചെയ്താൽ ഫലകം:Math (ഗുണനവിപരീതവുമായുള്ള പൊരുത്തം)
• ഫലകം:Math ആവുകയും ഫലകം:Math, ഫലകം:Math എന്നിവ സഹ-അഭാജ്യമായിരിക്കുകയും ചെയ്താൽ ഈ രേഖീയ സർവ്വസമതയുടെ പരിഹാരം ഫലകം:Math ആണ്.

ഫലകം:Math ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയും ഫലകം:Math അതിൽ ചെറിയതും (ഫലകം:Math) അതിനോട് സഹ-അഭാജ്യവുമായ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുമാണെങ്കിൽ ഫലകം:Math യ്ക്ക് ഒരു ഗുണനവിപരീതമുണ്ടാകുമെന്ന് ഇതിൽ നിന്നും കാണാം.

അവലംബം

• John L. Berggren. "modular arithmetic". Encyclopædia Britannica.
• ഫലകം:Apostol IANT. See in particular chapters 5 and 6 for a review of basic modular arithmetic.
• Maarten Bullynck "Modular Arithmetic before C.F. Gauss. Systematisations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany"
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ഫലകം:Isbn. Section 31.3: Modular arithmetic, pp. 862–868.
• Anthony Gioia, Number Theory, an Introduction Reprint (2001) Dover. ഫലകം:Isbn.
• ഫലകം:Cite book
• ഫലകം:Cite book
• ഫലകം:Cite book