സുവർണ്ണ അനുപാതം

The golden section is a line segment sectioned into two according to the golden ratio. The total length a+b is to the longer segment a as a is to the shorter segment b.

രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ അനുപാതം അവയുടെ തുകയും ആദ്യത്തെ സംഖ്യയും തമ്മിലുള്ള അനുപാതത്തിന്‌ തുല്യമാണെങ്കിൽ അവ കനക അനുപാതത്തിലാണെന്ന് (Golden ratio) പറയുന്നു. ബീജഗണിതരൂപത്തിൽ പ്രസ്താവിച്ചാൽ, $a$, $b$ എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകളിൽ $a>b>0$, ആണെങ്കിൽ a/b = (a+b)/a = φ എന്നെഴുതാം. ഇവിടെ കിട്ടിയ φ (ഫൈ) എന്ന ഗ്രീക്ക് അക്ഷരം സൂചിപ്പിക്കുന്ന അനുപാതമാണ് കനകാനുപാതം. ഇതിന്റെ വില $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ആണ്‌ . ഈ അനുപാതം ഒരു അഭിന്നകമാണ്. ഗണിതപരമായി നിർദ്ധാരണം ചെയ്താൽ ഇതിന്റെ മൂല്യം ഏകദേശം 1.618033988749 എന്ന സംഖ്യയോട് അടുത്തുവരും. പൈത്തഗോറസ്സും അദ്ദെഹത്തിന്റെ ശിഷ്യന്മാരും പ്രത്യേകമായ ഈ അനുപാതത്തോട് ആകർഷിതരായിരുന്നു.

പ്രത്യേകത

AB വശമായി ABCD എന്ന ഒരു സമചതുരം നിർമ്മിച്ച് AD യുടെ മദ്ധ്യബിന്ദുവായി E സങ്കൽപ്പിയ്ക്കുക. EF=EB ആയിരിയ്ക്കത്തക്കവണ്ണം F എന്ന ബിന്ദു DAൽ കണ്ടുപിടിച്ച്, ശേഷം AFGP എന്ന സമചതുരം വരച്ചാൽ P,AB യെ സുവർണ്ണ അനുപാതത്തിൽ വിഭജിയ്ക്കും. കൂടാതെ,AB നീളവും AP വീതിയുമുള്ള ഒരു ചതുരം നിർമ്മിച്ചാൽ ഏറ്റവും മനോഹരമായ ചതുരം ഇതായിരിയ്ക്കുമത്രേ!

ഫിബനാച്ചി ശ്രേണിയും സുവർണ്ണ അനുപാതവും

അടുത്തടുത്ത രണ്ട് ഫിബനാച്ചി സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം പരിശോധിച്ചാൽ, F2/F1 ➔ 1÷1 = 1

F3/F2 ➔ 2÷1 = 2

F4/F3 ➔ 3÷2 = 1.5

F5/F4 ➔ 5÷3 = 1.666..

F6/F5 ➔ 8÷5 = 1.6

F7/F6 ➔ 13÷8 = 1.625

എന്നിങ്ങനെ കിട്ടും. ഇങ്ങനെ തുടർന്നാൽ 20-ആം ഫിബനാച്ചി സംഖ്യയായ 6765-ഉം 19-ആം ഫിബനാച്ചി സംഖ്യയായ 4181-ഉം തമ്മിലുള്ള അനുപാതം 1.618033… എന്ന് കിട്ടും.

F20/F19 ➔ 6765÷4181 = 1.618033

അതായത് ഫിബനാച്ചി സംഖ്യ വലുതാകുംതോറും അടുത്തടുത്ത രണ്ട് സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം സുവർണ്ണാനുപാതമായി മാറുന്നതായി കാണാം.