കൺവേർജന്റ് സീരിസ്

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, അനന്തമായ അനുക്രമ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയാണ് ഒരു ശ്രേണി എന്നറിയപ്പെടുന്നത്. കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, അനന്തമായ ഒരു അനുക്രമം $(a_0,a_1,a_2,\dots )$, ഉപയോഗിച്ച് ഫലകം:Mvar എന്ന ഒരു ശ്രേണിയെ ഇപ്രകാരം നിർവ്വചിക്കാം,

$S=a_0+a_1+a_2+\cdots =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k.$

അനുക്രമത്തിലെ ആദ്യത്തെ ഫലകം:Math സംഖ്യകളുടെ തുകയാണ് ഫലകം:Math-ാമത് ആംശിക തുക (Partial sum) അഥവാ ഫലകം:Math,

$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k.$

ഒരു ശ്രേണി അഭിസരണമാണെങ്കിൽ (Convergent series) ആ ശ്രേണിയുടെ ആംശികതുകകളായ $(S_1,S_2,S_3,\dots )$ എന്നിവ ഒരു പരിധിയിലേയ്ക്ക് പ്രവണമാകും; അതിനർത്ഥം, ഓരോ തവണയും $a_k$ എന്ന അംഗത്തെ കൂട്ടിക്കിട്ടുന്ന ആംശികതുക ഒരു നിശ്ചിതസംഖ്യയുമായി കുടുതൽ കൂടുതൽ അടുത്തുകൊണ്ടിരിക്കും.

$|S_n-\ell |<\epsilon .$

ശ്രേണി അഭിസരണമാണെങ്കിൽ , $\ell$ നെ ആ ശ്രേണിയുടെ ആകെത്തുക എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ശ്രേണി അതിൻ്റെ ആകെത്തുകയിലേയ്ക്ക് അഭിസരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ അതിനെ മേൽപ്പറഞ്ഞ അതേ പ്രതീകമായ,

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. സങ്കലനക്രിയയ്ക്ക് ഉപയോഗിക്കാറുളള അതേ സമ്പ്രദായത്തിന് തുല്യമാണ് ഇതും: ഫലകം:Math എന്നാൽ ഫലകം:Mvar, ഫലകം:Mvar എന്നിവയുടെ സങ്കലനക്രിയയെ മാത്രമല്ല സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ആ സങ്കലനക്രിയയുടെ തുകയെക്കൂടിയാണ്.

അഭിസരണമല്ലാത്ത ശ്രേണികളെ അപസരണ ശ്രേണികൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

കൺവർജന്റും ഡൈവർജന്റുമായ ശ്രേണികളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

• ധന പൂർണസംഖ്യകളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു ഡൈവർജന്റ് ശ്രേണി (ഹാർമോണിക ശ്രേണി) ഉണ്ടാക്കുന്നു:

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots \to \mathrm{\infty }.$

• ധന പൂർണസംഖ്യകളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങളുടെ ചിഹ്നം ഒന്നിടവിട്ട് മാറ്റം വരുത്തിയാൽ അത് ഒരു കൺവർജന്റ് ശ്രേണി ( പ്രത്യാവർത്തി ഹാർമോണിക ശ്രേണി) ഉണ്ടാക്കുന്നു:

  $\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots =\ln (2)$

• അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അപസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു. :

  $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\cdots \to \mathrm{\infty }.$

• ത്രിഭുജസംഖ്യകളുടെ (triangular numbers) വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു:

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+\cdots =2.$

• ക്രമഗുണിതങ്ങളുടെ (factorials) വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അപസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു ( e കാണുക):

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\cdots =e.$

• വർഗ്ഗസംഖ്യകളുടെ (square numbers) വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു. (ബേസൽ സമസ്യ):

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\frac{1}{36}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}.$

• 2 ൻ്റെ ഘാതങ്ങളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു. (അതുകൊണ്ടുതന്നെ 2 ൻ്റെ ഘാതങ്ങളുടെ ഗണം "ചെറുത്" ആണ്):

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\cdots =2.$

• n>1 ആയവയുടെ ഘാതത്തിൻ്റെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു:

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^5}+\cdots =\frac{n}{n-1}.$

• 2 ൻ്റെ ഘാതങ്ങളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങളുടെ ചിഹ്നം ഒന്നിടവിട്ട് മാറ്റുന്നത് ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു:

  $\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}+\cdots =\frac{2}{3}.$

• n>1 ആയവയുടെ ഘാതത്തിൻ്റെ വ്യുൽക്രമങ്ങളുടെ ചിഹ്നം ഒന്നിടവിട്ട് മാറ്റുന്നത് ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു:

  $\frac{1}{1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^4}-\frac{1}{n^5}+\cdots =\frac{n}{n+1}.$

• ഫിബനാസി സംഖ്യകളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു. (ψ കാണുക):

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\cdots =\psi .$

കൺവർജൻസ് പരിശോധനകൾ

ഒരു ശ്രേണി അഭിസരിക്കുന്നുവോ അപസരിക്കുന്നുവോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്.

നീല ശ്രേണിയായ, $\mathrm{\Sigma }{b}_n$, അഭിസരണമാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ കഴിഞ്ഞാൽ, ചെറിയ ശ്രേണിയായ, $\mathrm{\Sigma }{a}_n$ അഭിസരണമായിരിക്കും. സമാനമായി, ചുവന്ന ശ്രേണിയായ $\mathrm{\Sigma }{a}_n$ അപസരണമാണെന്ന് തെളിയിച്ചാൽ $\mathrm{\Sigma }{b}_n$ ഉം അപസരണമായിരിക്കും.

താരതമ്യ പരിശോധന . അനുക്രമം $\left\{a_n\right\}$ ലെ പദങ്ങലെ മറ്റൊരു അനുക്രമം $\left\{b_n\right\}$ ഉം ആയി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ,

എല്ലാ n നും, $0\le a_n\le b_n$, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ അഭിസരിക്കുന്നു, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$നും അതു തന്നെ സംഭവിക്കുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും,

എല്ലാ n നും, $0\le b_n\le a_n$, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ അപസരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$ നും അതുതന്നെ സംഭവിക്കും.

അനുപാത പരിശോധന (Ratio test) . എല്ലാ n- നും , $a_n$ പൂജ്യമല്ല എന്നു സങ്കൽപ്പിക്കുക. $r$ എന്നൊന്ന് താഴെപ്പറയും പ്രകാരം ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r.$

r <1 ആണെങ്കിൽ, ശ്രേണി തികച്ചും അഭിസരണമാണ്. ഫലകം:Nowrap ആണെങ്കിൽ, ശ്രേണി അപസരണമാണ്. ഫലകം:Nowrap ആണെങ്കിൽ, അനുപാത പരിശോധന അനിശ്ചിതമാണ്, ശ്രേണി അഭിസരണമോ അപസരണമോ ആകാം.

വർഗ്ഗമൂല പരിശോധന (Root test) അല്ലെങ്കിൽ n ാം വർഗ്ഗമൂലപരിശോധന. പ്രസ്തുത ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങൾ ഋണമല്ലെന്ന് കരുതുക. r ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവ്വചിക്കുക:

$r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n|},$

ഇവിടെ "lim sup" എന്നത് പരമോന്നത പരിധിയെ (limit superior) സൂചിപ്പിക്കുന്നു (അത് ∞ ആയേക്കാം).

r <1 ആണെങ്കിൽ, ശ്രേണി അഭിസരണമാണ്. ഫലകം:Nowrap ആണെങ്കിൽ, ശ്രേണി അപസരണമാണ്. ഫലകം:Nowrap ആണെങ്കിൽ, വർഗ്ഗമൂല പരിശോധന അനിശ്ചിതമാണ്, ശ്രേണി അഭിസരണമോ അപസരണമോ ആകാം.

അനുപാത പരിശോധനയും വർഗ്ഗമൂല പരിശോധനയും ഒരു ജ്യാമിതീയ ശ്രേണിയുമായുള്ള താരതമ്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, അതുപോലെ തന്നെ അവ സമാന സാഹചര്യങ്ങളിൽ വർത്തിക്കുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, അനുപാത പരിശോധന വിജയകരമാണെങ്കിൽ വർഗ്ഗമൂലപരിശോധനയും വ്യത്യസ്തമാകുകയില്ല; അതിനാൽ, വർഗ്ഗമൂല പരിശോധനയാണ് കൂടൂതൽ പ്രായോഗികം, എന്നാൽ സാധാരണയായി കാണുന്ന തരത്തിലുള്ള ശ്രേണികളുടെ പരിധി കണക്കാക്കുന്നത് പലപ്പോഴും ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.

സമാകലന പരിശോധന (Integral Test) . അഭിസരണവും അപസരണവും നിർണയിക്കുന്നതിന് ശ്രേണിയെ ഒരു സമാകല(Integral)വുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാം. $f(n)=a_n$ ഒരു പോസിറ്റീവും ഏകതാനമായി കുറയുന്ന ഫലനവും ആണെന്നിരിക്കട്ടെ,

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{t}{\int }}f(x)dx<\mathrm{\infty },$

ആയാൽ ശ്രേണി അഭിസരിക്കും. എന്നാൽ സമാകല്യം അപസരിച്ചാൽ ശ്രേണിക്കും അതു തന്നെ സംഭവിക്കും.

പരിധി താരതമ്യ പരിശോധന (Limit comparison test) . $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}>0$ ഉം, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}$ എന്ന പരിധി ഉണ്ടായിരിക്കുകയും, അത് അപൂജ്യവുമാണെങ്കിൽ, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ അഭിസരിച്ചാൽ മാത്രമേ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ യും അഭിസരിക്കുകയുളളു.

യൂണിഫോം കൺവർജൻസ് (Uniform convergence)

$\{f_1,f_2,f_3,\dots \}$ എന്നിവ ഫലനങ്ങളുടെ ഒരു അനുക്രമം ആണെന്നിരിക്കട്ടെ. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ എന്ന ശ്രേണി f ലേയ്ക്ക് ഏകതാനമായി അഭിസരിക്കുന്നു എന്ന് പറയണമെങ്കിൽ ആംശികതുകകളുടെ അനുക്രമമായ $\{s_n\}$ ,

$s_n(x)=\sum _{k=1}^n{f}_k(x)$

എന്നത് f ലേയ്ക്ക് ഏകതാനമായി അഭിസരിക്കണം.

പുറത്തേക്കുള്ള കണ്ണികൾ

• വെയ്സ്റ്റീൻ, എറിക് (2005). റീമൻ സീരീസ് സിദ്ധാന്തം . ശേഖരിച്ചത് മെയ് 16, 2005.