ലെവി-സിവിറ്റ ചിഹ്നം

ഫലകം:Prettyurl ടെൻസർ കലനത്തിൽ(Tensor calculus) ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രചിഹ്നമാണ് ലെവി-സിവിറ്റ ചിഹ്നം.ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനുമായിരുന്ന ടുള്ളിയോ ലെവി സിവിറ്റയോടുള്ള ബഹുമാനാർഥമായാണ് ഈ പേര് നൽകപ്പെട്ടത്.

നിർവചനം

ത്രിമാന ലെവി സിവിറ്റ ചിഹ്നം താഴെക്കാണുന്ന വിധത്തിലാണ് നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്;

${\epsilon }_{ijk}=\{\begin{array}{cc}+1& \text{if }(i,j,k)\text{ is }(1,2,3),(3,1,2)\text{ or }(2,3,1),\\ -1& \text{if }(i,j,k)\text{ is }(1,3,2),(3,2,1)\text{ or }(2,1,3),\\ 0& \text{if }i=j\text{ or }j=k\text{ or }k=i\end{array}$

${\epsilon }_{ijk}$ന്റെ വില,(i, j, k)എന്നത് (1,2,3) ന്റെ ഇരട്ട ക്രമചയമാണെങ്കിൽ (even permutation) 1ഉം ഒറ്റ ക്രമചയമാണെങ്കിൽ(odd permutation) -1ഉം i,j,k എന്നിവയിലേതെങ്കിലും ആവർത്തിക്കുകയാണെങ്കിൽ 0വും ആണ്.

ത്രിമാന ലെവി-സിവിറ്റ ചിഹ്നത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കാൻ താഴെക്കാണുന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കാം;

${\epsilon }_{ijk}=\frac{(j-i)(k-i)(k-j)}{2}=\frac{(i-j)(j-k)(k-i)}{2}$

ചതുർമാനത്തിൽ ഇതിന്റെ മൂല്യം;

${\epsilon }_{ijkl}=\frac{(j-i)(k-i)(l-i)(k-j)(l-j)(l-k)}{12}=\frac{(i-j)(i-k)(i-l)(j-k)(j-l)(k-l)}{12}$ആണ്.

ഉദാഹരണത്തിന് രേഖീയ ബീജഗണിതത്തിൽ,3×3 മാട്രിക്സിന്റെ സാരണികം(determinant) ലെവി-സിവിറ്റ ചിഹ്നമുപയോഗിച്ച്

$\det A=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3\sum _{k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{a}_{1i}{a}_{2j}{a}_{3k}$

എന്നെഴുതാം. രണ്ടു സദിശങ്ങളുടെ ക്രോസ് പ്രോഡക്ട് എഴുതാനും ഈ ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കാം

$𝐚\mathbf{\times }𝐛=\left|\begin{array}{ccc}{𝐞}_{\mathrm{𝟏}}& {𝐞}_{\mathrm{𝟐}}& {𝐞}_{\mathrm{𝟑}}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3\sum _{k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{𝐞}_{𝐢}{a}_j{b}_k$

കുറച്ചുകൂടി ലളിതമായിപ്പറഞ്ഞാൽ:

$𝐚\mathbf{\times }𝐛=𝐜,c_i=\sum _{j=1}^3\sum _{k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{a}_j{b}_k.$

അവലംബം

• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (See section 3.5 for a review of tensors in general relativity).